Question

特征多项式推导|λE-A| = λ^n (a11 + a22 + + ann)λ^(n?1) + + 1)^n|A| 是

Answer 1

相当于需要对n次多项式f(λ)=|λE-A|证明三件事：
(1) n次项系数为1；
(2) (n-1)次项系数为a11+a22+…+ann；
(3) 常数项为(-1)^n|A|.
证明：(1) 直接按行列式的定义展开|λE-A|即得.
(2) 假设f(λ)的n个复根为λ1,λ2,...,λn,则f(λ)=(λ-λ1)(λ-λ2)...(λ-λn)=λ^n-(λ1+λ2+...+λn)λ^n+...,所以(n-1)次项系数=λ1+λ2+...+λn.注意到λ1,λ2,...,λn恰为A的n个特征根,而A必相似于对角元为λ1,λ2,...,λn的上三角矩阵J（Jordan标准型）,且矩阵的迹在相似下不变,所以λ1+λ2+...+λn=tr(J)=tr(A)=a11+a22+…+ann.
(3) 对任意多项式f(λ),常数项均等于f(0)（其它项在λ=0时都等于0）.所以这里常数项=f(0)=|0*E-A|=|-A|=(-1)^n|A|.