Question

求教函数题

Answer 1

解：
1.f(x) = 2^x - 1/2^x -1
y = 2^x 是增函数，y=- 1/2^x 也是增函数
所以f(x)单调递增
f(0) = -1 < 0
f(1) = 1/2 >0
所以 f(x) 有 大于0的零点，且在(0,1)之间
2.令 f(x) = 0,y = 2^x(则y>0)
若f(x)有两个零点，也就是 y - a/y - 1 =0有两个大于0 的不相等的实数根
y^2 - y -a =0
判别式 1+4a > 0， 两根之积 -a>0
所以 -1/4 < a < 0

3.g(x)和f(x)关于 x=1对称，若对于任意x，g(x)>=a成立
则 只要对于任意x ,f(x) >=a也成立。
令 y =2^x (y>0)
则 y - a/y - 1>= a 对任意y>0恒成立
a <= (y^2 - y)/(y+1) = (y+1) + 2/(y+1) - 3
(y+1) + 2/(y+1) - 3 >= 2√【(y+1) × 2/(y+1)】-3 = 2√2 - 3
当 y+1 = √2，y=√2 - 1时取得等号
所以 a<=2√2 - 3