Question

如何求曲线的渐近线？

Answer 1

当我们谈论渐近线时，我们会想到什么？一条曲线与一条直线，在遥远的地方升瞎扒无限地接近，又彼此分离。这种若即若离的美感就好像上一节极限我们所提到的欲求完美，却触摸不到绝对的完美。本文，学长将带你穿过迷雾，去“无穷远”处看看渐近线的真容。

用一生的时间去追求完美，但是依然达不到绝对完美
上图中，我们追求完美，会随着时间的流逝逐渐趋向于绝对的完美，但绝对完美就像高压线一样，无法触摸，这种逐渐靠近却又接触不到与极限相似，而这条“高压线”就叫做曲线的渐近线。代入到上篇极限文章的回家模型中：

“回不了家”模型
在回家模型中，以时间为横轴，离家距离为纵轴。时间飞转，离家日近，但永远都进不了家门。在距离-时间图中，房子是我永远到不了的红线，即为渐近线（顾名思义：逐渐靠近的线）

简单了解渐近线的含义后，回到数理的世界。看看水平、垂直、斜三种渐近线的本质来源和相互关系。既然渐近线是直线，其表达式可设为： y=kx+b ，k为渐近线斜率，也极为渐近线与X轴正向夹角的正切值，如下：

K的值等于直线与x轴正向夹角的正切值
那么k就有如下三种情况：

（a） k=0时：tan\theta=0\Rightarrow\theta=0. 此时渐近线与x轴平行，为水平渐近线，表达式为： y=y_{0}

（b） k=\infty：tan\theta=\infty\Rightarrow\theta=90° 此时渐近线与x轴垂直，为垂直渐近线，表达式为： x=x_{0}

（c） k=非0常数时：tan\theta\in(0,+\infty)\Rightarrow0＜\theta＜90° ，此时为斜渐近线。

三种类型的渐近线
三种渐近线的关系
图上三种类型的渐近线，神态各异。但如果我告诉你，三类渐近线对应的曲线形状均相同，只是在坐标系里的位置不同，吵昌你有没有一些想法？

那就是，渐近线与X轴不同的夹角，都可以看做是选取了不同的坐标系所致，如下图：

不同坐标下的渐近线
固定图中三条相同的曲线，其渐近线也随之固定。这时转动坐标系：

令x轴与渐近线平行，得到水平渐近线；
令x轴与渐近线垂直，得到垂直渐近线；
令x轴与渐近线成其他任意角，得到斜渐近线。
无论怎么转动坐标系，曲线与渐近线的关系均是：曲线只能无穷趋近于渐近线，但永远触碰不到。以图中的情况为例，对于水平和斜渐近线而言，可以通过x值的变化来描述此过程，即x增大，渐近线和曲线的距离越来越近；而对于垂直渐近线而言，用y来描述，y越大曲线越接近渐近线。

求渐近线
理解渐近线与x/y变量的关系后，接下来我们要了解如何求渐近线。对于斜渐近线和水平渐近线，即x趋近于+∞或－∞时，渐近线的y坐标和曲线y坐标越来越近，既有： \lim_{x \rightarrow +\infty}{(y_{曲线}-y_{渐近线})}=0或\lim_{x \rightarrow -\infty}{(y_{曲线}-y_{渐近线})}=0 即\lim_{x \rightarrow +\infty}{y_{曲线}}=\lim_{x \rightarrow +\infty}y_{渐神缺近线}或\lim_{x \rightarrow -\infty}{y_{曲线}}=\lim_{x \rightarrow -\infty}y_{渐近线}

x趋近于＋∞或－∞时，渐近线和曲线的y坐标值逐渐靠近(紫色线越短)
对于水平渐近线有： \lim_{x \rightarrow +\infty}{y_{曲线}}=\lim_{x \rightarrow +\infty}y_{渐近线}=y_{0}或\lim_{x \rightarrow -\infty}{y_{曲线}}=\lim_{x \rightarrow -\infty}y_{渐近线}=y_{1}

有水平渐近线。若 y_{0}=y_{1} ，则为一条水平渐近线；若 y_{0}≠y_{1} ，则为两条水平渐近线，如上图所示。

判据： \lim_{x \rightarrow +\infty}{y_{曲线}}或\lim_{x \rightarrow -\infty}{y_{曲线}} 存在，则有水平渐近线 y=y_{0} 或 y=y_{1} ，其中 y_{0}=\lim_{x \rightarrow +\infty}{y_{曲线}}或y_{1}=\lim_{x \rightarrow -\infty}{y_{曲线}}

对于斜渐近线有：

以上图右侧斜渐近线为例：

\lim_{x \rightarrow +\infty}{(y_{曲线}-y_{渐近线})}=0\Rightarrow\lim_{x \rightarrow +\infty}{(y_{曲线}-kx-b)}=0\Rightarrow\lim_{x \rightarrow +\infty}{(y_{曲线}-kx)}=b

而 \lim_{x \rightarrow +\infty}{(y_{曲线}-kx)}=b\Rightarrow\lim_{x \rightarrow +\infty}{(\frac{y_{曲线}-kx}{x})}=\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{b}{x}=0

即 \lim_{x \rightarrow +\infty}{(\frac{y_{曲线}-kx}{x})}=0\Rightarrow\lim_{x \rightarrow +\infty}{({\frac{y_{曲线}}{x}-k})}=0\Rightarrow\lim_{x \rightarrow +\infty}{{\frac{y_{曲线}}{x}}}=k

左侧同理可得，即改为x趋近于-∞。

判据为： \lim_{x \rightarrow +\infty}{{\frac{y_{曲线}}{x}}}，\lim_{x \rightarrow +\infty}{(y_{曲线}-kx)} 均存在时，有斜渐近线 y=k_{1}x+b_{1}

其中 k_{1}=\lim_{x \rightarrow +\infty}{{\frac{y_{曲线}}{x}}} ， b_{1}=\lim_{x \rightarrow +\infty}{(y_{曲线}-kx)} .

或者， \lim_{x \rightarrow -\infty}{{\frac{y_{曲线}}{x}}}，\lim_{x \rightarrow -\infty}{(y_{曲线}-kx)} 均存在时，有斜渐近线 y=k_{2}x+b_{2}

其中 k_{2}=\lim_{x \rightarrow -\infty}{{\frac{y_{曲线}}{x}}} ， b_{2}=\lim_{x \rightarrow -\infty}{(y_{曲线}-kx)} .

若 k_{1}=k_{2}，b_{1}=b_{2} ，则是同一条斜渐近线。

最后来讲下垂直渐近线，对于垂直渐近线而言，其与水平/斜渐近线是相反的。即随着y趋近于+∞或者-∞时，渐近线的x坐标和曲线的x坐标越来越近。

随着y趋近于+∞或-∞，渐近线和曲线x坐标越来越近(紫线越短)
以左侧曲线为例：

\lim_{y \rightarrow +\infty}{(x_{曲线}-x_{渐近线})}=0

\lim_{y \rightarrow +\infty}{x_{曲线}}=x_{渐近线}=x_{0}

即 y\rightarrow+\infty,x\rightarrow x_{0}^{-} 反过来 x\rightarrow x_{0}^{-},y\rightarrow+\infty