Question

求函数 y=x^4-4x^3+4x^2+3,x[-1,3]的最大值和最小值

Answer 1

函数极值问题，可以运用导数的方法来求解。

第一步，先求该函数的一阶导数，则有

y'=(x^4-4x^3+4x^2+3)'

=4x^3-12x^2+8x

第二步，令y'=0，求解其极值点，则有

4x^3-12x^2+8x=0

4x(x^2-3x+2)=0

4x(x-1)(x-2)=0

第三步，解方程，则有

x1=0；x2=1；x3=2

对应x的y值

y1=3；y2=4；y3=3

第四步，判断其极值点是最大值，最小值或拐点

该函数的二阶导数，则有

y"=(4x^3-12x^2+8x)'

=12x^2-24x+8

当x=0时，y"(0)=12·(0)^2-24·(0)+8=8>0

当x=1时，y"(1)=12·(1)^2-24·(1)+8=-4<0

当x=2时，y"(2)=12·(2)^2-24·(2)+8=8>0

所以，

当x=0时，有最小值，其最小值为3；

当x=1时，有最大值，其最小值为4；

当x=2时，有最小值，其最小值为3。

Answer 2

x^4-4x^3+4x^2+3=x^2(x^2-4x+4)+3=[x(x-2)]^2+3, 关于x=1对称

y'=4x^3-12x^2+8x=4x(x^2-3x+2)=4x(x-1)(x-2)  能得到极值点，如图

y(-1)=1+4+4+3=12=y(3)  max=12, min=3   望采纳