Question

指数函数比较大小

6^7与7^6怎么比较大小；以及a^b与b^a(a<b)怎么比较大小

Answer 1

解：令 x=6^7,y=7^6,
则 y/x=(7/6)^6*(1/6)
=(1+1/6)^6*(1/6).
因为 (1+1/6)^6<3,
所以 y/x<1/2<1,
所以 y<x,
即 6^7>7^6.

= = = = = = =
这题用到结论：
(1+1/n)^n<3,n为正整数.
原因见：
http://wenku.baidu.com/view/61b5a76e58fafab069dc02ae.html

= = = = = = =
比较：a^b与b^a(0<a<b)
(1)0<a<1<b.
这种情况在高中的题目里出现较多，利用指数函数的单调性和图形。
因为 0<a<1<b,
所以 a^b<1,b^a>1.
所以 a^b<b^a.

(2)1<a<b.
太麻烦，高中一般不考。

Answer 2

先证明一个一般性的命题：n^(n+1)>(n+1)^n(n≥3)
证明：①n=3时，3^4>4^3,命题成立。
②n=k时，命题成立，即：k^(k+1)>(k+1)^k.
k^(k+1)/(k+1)^k>1.
则(k+1)^(k+2)/(k+2)^(k+1)=((k+1)/(k+2))^(k+1)•(k+1)
>(k/(k+1))^(k+1)•(k+1)= k^(k+1)/(k+1)^k>1.
即(k+1)^(k+2)>(k+2)^(k+1)
这说明n=k+1时，命题也成立。
所以n^(n+1)>(n+1)^n(n≥3)
令n=6即得：6^7>7^6.