Question

高中函数 在线等 急

f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且满足f(x)=f(1/x)lgx+1
1. 求f(x)解析式
2. 当x取何值时，f(x)有最大值和最小值，分别是多少？

Answer 1

根据f(x)=f(1/x)lgx+1 你可以写出f(1/x)=f(x)lg(1/x)+1=1-f(x)lgx
f(x)=f(1/x)lgx+1 => f(1/x)lgx=f(x)-1
两式相除可以得出f(x)=1/((lgx)^2-lgx+1)
(lgx)^2-lgx+1的对称轴为lgx=1/2 lgx<1/2时二次函数递减 lgx>1/2时二次函数递增 lgx=1/2时取得最小值
所以f(x)在lgx=1/2时取最大值 x=√10 此时f(x)=4/3
有无最小值就是讨论二次函数g(x)=(lgx)^2-lgx+1有无最大值
因为x∈(0,+∞) 所以g(x)∈(3/4,+∞)
所以g(x)最大值不存在 即f(x)最小值不存在