Question

方向导数变化最快的方向是梯度方向。

Answer 1

（梯度的方向严重影响laplace算子物理意义）。其实好好思考方向导数的数学本质就明白了。

回顾一下问题出现的原因：

书上:方向导数是梯度和该方向向量的点积；与梯度方向一致时(夹角为零)，方向导数就是梯度和该方向的单位向量的点积，模为梯度的模，故梯度方向是函数变化最强烈的方向。

人：方向导数=梯度方向 \cdot 方向向量；方向向量=梯度方向时，方向导数最大；梯度方向是函数变化最大的方向。但到底是不是最快的方向呢？然后开始死循环。

问题关键：方向向量=梯度方向时，方向导数最大。那么方向导数是什么?标量还是向量？显然，方向导数结果是标量，代表该方向函数的变化率（方向导数本身就是借鉴了一元函数的导数）。若方向导数大于0，就意味着该点在该方向上函数会增加；若方向导数小于0，就意味着该点在该方向上函数会减少。那么，我们取的方向正好是梯度方向时，方向导数就是梯度方向的模（ 即：f_{l}=\nabla f \cdot e_{l}=|\nabla f| \quad\left(<\nabla f, e_{l}>=0\right) ）。而模本身就是正数，意味着梯度方向上 函数是增加的，而且各方向中增加的最快的方向。

总结：梯度方向是函数增加最快的方向，因为该方向的方向导数为梯度的模。