Question

二次函数跟一次函数相切公式

Answer 1

关于一次函数图像和二次函数图像相切的问题
已知,b＞-2 ,直线y=x+b与二次函数f(x)=x^2+bx+c的图像相切,且f(1)=0
(1)求f(x)的表达式；
(2)当x∈[2,5]时,函数f(x)≥(m+1)x^2-2 (m∈R)恒成立,求M的取值范围
注：
请特别说明
直线y=x+b与二次函数f(x)=x^2+bx+c的图像相切
图像相切,怎么理
(1)联立y=x+b与y=x^2+bx+c
∴x+b=x^2+bx+c
x^2+(b-1)x+c-b=0
又∵f(1)=0,∴代入f(x)=x^2+bx+c,得b=-c
∴x^2+(b-1)x-2b=0
∵该一次函数图像和二次函数图像相切
∴两图像只有一个公共点
∴Δ=0,即(b-1)^2+8b=0
∴b1=-3+2√(根号)2,b2=-3-2√2
∵b>-2
∴b=-3+2√2
∴f(x)=x^2+(2√2-3)x+3-2√2
(2)x∈[2,5]时,f(x)≥(m+1)x^2-2 (m∈R)恒成立
∴m+1>0时,即m>-1时,
设g(x)=(m+1)x^2-2,∴g(x)开口向上,
∴只需：f(2)>g(2),f(5)>g(5)即可）
∴（化简）2√2+1>4(m+1)-2
8√2+13>25(m+1)-2
解得m∈(-1,(8√2-10)/25)
m+1

Answer 2

设二次函数为$y=a x^2+b x+c$，一次函数为$f(x)=d x+e$，则相切的方程为：

$$a x^2+b x+c=d x+e$$

解得：
$$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c+4 a e}}{2 a}$$