Question

请问一元定积分用第二类换元法的时候换的那个函数必须是单调的吗？谢谢

比如我举一个题：见图片（点击图片放大）
这个题如果我设t=√(1+sinx)
在换元的时候在x=0和x=2π 时 t 都是1 ，那么新的积分限为[1,1]，很显然不对；
t 的值域是[0,√2]，如果新的积分限为[0,√2]，我算了一下好像也不对；
sinx在[0,π/2]，[π/2,3π/2]，[3π/2,2π]，上分别是单调的，那么在这三段上 t 也应该是单调的吧，所以我就把积分分了三段相加，这三段的积分限分别是[1,√2]，[√2,0]，[0,1]，但是从积分限上就能看出来结果为0，还是不对
所以我就想请问这个积分限到底如何确定呢？？谢谢
那也就是说换元的时候那个函数必须是单调的或者调整为单调的是吗？谢谢

Answer 1

你根据单调性确定积分限是对的，但是忽略了一个问题，就是dx的符号；
按照你的思路，t=√(1+sinx)，在代换dx的时候，不同区间的x表达式是不一样的；
简单的例子比如t=sinx；则x=arcsint或者x=π-arcsint；这样从dx变为dt就会相差一个“-”号，而不是简单的积分限变为0。

还有，这个题目可以考虑给根号里面的分数同乘以1+sinx；则分母变为cos^2x；分子变为1+sinx；根据不同德区间可以拿掉cosx的根号，又d(sinx)=cosx;因此可以将sinx直接换元，这样比较简单吧

换元的时候必须分单调区间讨论

Answer 2

楼主你把换元积分法理解错了。换元中，要求x=x(t)是单调函数，而不是t=√(1+sinx)是单调函数。另外，你的换元法使用得不当。一般是形如ax+b开根号，或者（ax+b）/(cx+d)开根号，才直接把根式令成t，你这样的令法，在反解x的时候容易出现反三角，比较麻烦。应该用√1-sinx=√1-2sin(x/2)cos(x/2)=
(sin(x/2)-cos(x/2))的绝对值。然后用分段函数去绝对值分段积分。