Question

已知在平行四边形ABCD中,点E、F分别在AD、BC上，且EF垂直平分对角线AC,垂直为O，试着说说四边形ABCD是菱形

1.已知在平行四边形ABCD中,点E、F分别在AD、BC上，且EF垂直平分对角线AC,垂直为O，试着说说四边形ABCD是菱形的理由
2. 如图末—7，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE＝DF. AE与CF有怎样的关系？ 说出你的理由
八年级数学上册北师大版练习册 。第一题53页20题 ，第二题56页19题

Answer 1

(1)因为EF垂直平分AC,所以AF=AE,CF=CE,角AOE=角COF=90度
在平行四边形ABCD中，AO=CO,AD平行于BC，即AC平行于EF
所以角EAC=角FCA
在三角形AOE和三角形COF中
角AOE=角COF
角EAC=角FCA
AO=CO
所以三角形AOE全等于三角形COF（AAS）
所以AE=CF
所以AF=AE=CF=CE
所以AFCE是菱形
（2),在平行四边形ABCD中，AB平行于CD，即AF平行于CE
因为AF平行且等于CE, 所以四边形AFCE是平行四边形
所以AE平行且等于于FC

Answer 2

1，∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC（平行四边形的对边平行）
∴∠AEF=∠CFE（两直线平行，内错角相等）
∵EF垂直平分对角线AC
∴AO=CO，EF⊥AC（线段垂直平分线的定义）
∵AO=CO，EF⊥AC，∠AEF=∠CFE
∴△AOE≌△COF（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）
∴OF=OE
∵EF⊥AC，OF=OE，AO=CO
∴四边形AECF是菱形（四边形对角线相互垂直、平分是菱形）