Question

6.设函数f(x)在 (0,+) 内可微,其反函数是g(x)且 _1^(f(x))g(t)dt=1？

Answer 1

根据题目中的条件，可以设函数 f(x) 的反函数为 g(x)。题目中给出的积分表达式可以写为：
∫[g(t)]^(f(x)) dt = 1
这是一个积分方程，我们需要求解 g(x) 的表达式。
对上式两边同时对 x 进行求导，得到：
d/dx [∫[g(t)]^(f(x)) dt] = d/dx (1)
根据积分的基本性质和链式法则，左侧可以写为：
d/dx [∫[g(t)]^(f(x)) dt] = f'(x) * g[f(x)] * [g(f(x))]^(f(x)) (1)
对右侧常数 1 求导得到 0。
将 (1) 中的结果带入原积分方程，得到：
f'(x) * g[f(x)] * [g(f(x))]^(f(x)) = 0
因为题目中已经给出 f(x) 在 (0,+) 内可微，所以 f'(x) 不等于 0。因此，我们可以除以 f'(x) 并将方程化简为：
g[f(x)] * [g(f(x))]^(f(x)) = 0
由于题目中要求 g(x) 是 f(x) 的反函数，因此 g[f(x)] = x，即：
x * [g(f(x))]^(f(x)) = 0
根据等式的性质，我们知道只有当 x = 0 或者 [g(f(x))]^(f(x)) = 0 时，等式成立。
如果 x = 0，那么 g(0) = 0。
如果 [g(f(x))]^(f(x)) = 0，那么根据函数的定义，只有 g(f(x)) = 0 或者 f(x) = 0 时，等式成立。
综上所述，根据题目中给出的条件，g(x) 的表达式可以为：
g(x) = 0, 当 x = 0
g(x) = 1/f(x), 当 x ≠ 0 且 f(x) ≠ 0
其中，f(x) 是题目中给定的可微函数在 (0,+) 内的定义域上的函数。请注意，这里的 g(x) 的表达式可能并不是唯一的，因为反函数在定义域上可能不唯一。具体的 g(x) 的表达式还需要根据题目中给定的 f(x) 函数的具体形式来确定。