Question

如图,直角三角形ABC中,角ABC=90°,D是AB边上的点,AD的垂直平分线EF交AC于E,垂足为F，ED的延长线与CB的延长

如图,直角三角形ABC中,角ABC=90°,D是AB边上的点,AD的垂直平分线EF交AC于E,垂足为F，ED的延长线与CB的延长线交于点G。 求证：点E在GC的垂直平分线上。

Answer 1

证明：∵EF为AD的垂直平分线
∴AF＝DF∠AFE＝∠DFE=90°
∵EF=EF
∴三角形AFE≌三角形DFE
∴∠AEF=∠DEF
∵∠AFE=∠ABC=90°
∴EF‖CG
∴∠AEF=∠C ∠DEF=∠G
∴∠C=∠G
过E作CG的垂线，交CG于H，则∠EHG=∠EHC=90°
∵∠C=∠G ∠EHG=∠EHC EH=EH
∴三角形EHG≌三角形EHC
∴GH=CH
∵GH⊥CH
∴EH为CG的垂直平分线
∴点E在GC的垂直平分线上
累死偶了~打那些符号~噩梦啊~

Answer 2

角AEF=角DEF
EF平行GC
所以角DEF=角G=角AEF=角C
所以EG=EC
所以点E在GC的垂直平分线上（等腰三角三线合一）

Answer 3

证明：∵EF为AD的垂直平分线
∴AF＝DF∠AFE＝∠DFE=90°
∵EF=EF
∴三角形AFE≌三角形DFE
∴∠AEF=∠DEF
∵∠AFE=∠ABC=90°
∴EF‖CG
∴∠AEF=∠C ∠DEF=∠G
∴∠C=∠G
过E作CG的垂线，交CG于H，则∠EHG=∠EHC=90°
∵∠C=∠G ∠EHG=∠EHC EH=EH
∴三角形EHG≌三角形EHC
∴GH=CH
∵GH⊥CH
∴EH为CG的垂直平分线
∴点E在GC的垂直平分线上