Question

数学函数极限和连续题

1、设f(x)满足f(x1+x2)=f(x1)f(x2),所有x1,x2属于（-∞，+∞），若f(x)在x=0处连续，且f(0)不为零，证明f(x)在（-∞，+∞）内连续
2、已知a>0，X0>0，Xn+1=1/2（Xn + a/Xn)其中n=0、1、2。。。 求lim Xn 。

第二题中n+1和n为下脚标
第一题解得莫名其妙。。。。

Answer 1

1、首先，令x1=x2=0，得到f(0)=f(0)^2；因为f(0)不为零，因此f(0)=1;
,由连续的极限定义，即lim(△x→0)△y=0证明：
设x为R上任意一点，在x处有增量△x；于是
lim(△x→0)△y=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]
=lim(△x→0)[f(x)f(△x)-f(x)]=lim(△x→0)[f(x)(f(△x)-1)]=0
即lim(△x→0)△y=0，所以f在x处连续，又因为x的任意性，f处处连续。

2很明显xn>0;又Xn+1=1/2（Xn + a/Xn)>=1/2*2√a=√a；
即Xn>=√a;
于是Xn+1/Xn=1/2(1+a/Xn^2)<=1(因为Xn>=√a)
即Xn+1<Xn
综上，Xn为单调递减有下界数列，故其极限存在，设为L
于是
Xn+1=1/2（Xn + a/Xn)
对上式取极限
L=1/2(L+a/L);
解得L=√a或-√a（舍去）

Answer 2

第一题
令x1=x2=0 有 f(0)=f(0)f(0)
由于f(0)≠0，所以f(0)=1

那么有f(x+Δx)=f(x)f(Δx)
两边 令Δx→0，再由f(x)在0点的连续性有
lim f(x+Δx)= lim f(x)f(Δx) =f(x)limf(Δx)
=f(x)f(0)=f(x)
即
lim f(x+Δx)= f(x)
这就是说f(x)连续。

第二题
首先，可以看出，对所有的n xn>0的(可由归纳法证明，在考试时，可以写显然 )
所以 Xn+1 = 1/2（Xn + a/Xn) >= 根号a （均值不等式）
这说明 xn是有下界的。

而Xn+1-Xn =1/2（a/Xn - Xn)

考查函数 g(x)=a/x -x 是减函数

所以Xn+1-Xn =1/2（a/Xn - Xn)<0 (这里是代入了根号a)

所以数列从n>=2时，是单减有下界的。
那么必然收敛。设 Xn→x

对 Xn+1=1/2（Xn + a/Xn) 两边令n→+∞

得到 x = 1/2（x + a/x)

解得 x=根号a (负的舍了)