Question

怎样分解因式？

Answer 1

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，除法等。
x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5 　　
解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) 　　
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) 　　
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) 　　
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) 　　
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) 　　 　　
注意三原则 　　
1 分解要彻底 　　
2 最后结果只有小括号 　　
3 最后结果中多项式首项系数为正　

归纳方法： 　　
1、提公因式法。 　　
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 　　
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 　　
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数的分母为各分数分母的最小公倍数，分子为各分数分子的最大公约数（最大公因数） 　　
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 　　
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 　　
例如：-am+bm+cm=-(a-b-c)m； 　　
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)
注意：把2a+1/2变成2(a+1/4)不叫提公因式

2、公式法。 　　
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 　　

平方差公式: (a+b)(a-b)=a^2-b^2
反过来为a^2-b^2=(a+b)(a-b) 　　

完全平方公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
反过来为a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 　　

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 　　

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。 　　
两根式：ax^2+bx+c=a(x-(-b+√(b^2-4ac))/2a)(x-(-b-√(b^2-4ac))/2a) 　　
立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) 　　
立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) 　　
完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3 　　
公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) 　　
例如：a^2+4ab+4b^2 =(a+2b)^2
　　
3、分组分解法。
4、凑数法。[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)] 　　
5、组合分解法。 　　
6、十字相乘法。
十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1.a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1乘c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)
在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
基本式子：x^2+（p+q)χ+pq=(χ+p)(χ+q)，所谓十字相乘法，就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说:把x^2+7x+12进行因式分解，上式的常数12可以分解为3×4，而3+4又恰好等于一次项的系数7，所以上式可以分解为：x^2+7x+12=(x+3)(x+4)
又如：分解因式:a^2+2a-15，上式的常数-15可以分解为5×(-3)。而5+(-3)又恰好等于一次项系数2。所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3)
十字相乘法讲解：
x^2-3x+2
如下： 　　
x -1 　　
╳ 　　
x -2 　　
左边x乘x= x^2 　　
右边-1乘-2=2 　　
中间-1乘x+（-2）乘x（对角）=-3x 　　
上边的【x+（-1）】乘下边的【x+（-2）】 　　
就等于（x-1）*（x-2） 　　
x^2-3x+2=（x-1）*（x-2） 　　

7、双十字相乘法。 　　
8、配方法。 　　
9、拆项法。 　　
10、换元法。 　　
11、长除法。 　　
12、加减项法。 　　
13、求根法。 　　
14、图象法。 　　
15、主元法。 　　
16、待定系数法。 　　
17、特殊值法。 　　
18、因式定理法。