Question

如何证明任意函数单调递增?

Answer 1

证明任意函数是单调递增是不可能的，因为这个命题是不正确的。并非所有的函数都是单调递增的。

一个函数被称为单调递增，当且仅当对于任意的 x1 和 x2 （其中 x1 < x2），有 f(x1) ≤ f(x2)。这意味着随着自变量 x 的增加，函数值也会增加或保持不变。

然而，这并不适用于所有函数。例如，考虑函数 f(x) = x^2，在区间 [-1, 1] 上，随着 x 从 -1 增加到 1，f(x) 的值先减小后增加，因此该函数不是单调递增的。

因此，并不能对所有函数都做出单调递增的一般性证明。在数学中，我们需要具体分析每个函数的特性，才能得出是否是单调递增的结论。

追问

那怎么判断在某区间内单调递增或单调递减？

Answer 2

如何证明任意函数单调递增？
有两种方法，一个是利用增函数的定义，设x1，x2∈I，x1<x2，
证明f(x1)<f(x2)
二是利用导数，证明f＇(x)>0恒成立。