Question

一道数学分析证明题《急》

设f（x）在[a，正无穷）上严格单调下降，且lim<n趋于无穷> f（x（n））= lim<x趋于无穷>f（x） 求证 limx（n）趋于正无穷<n趋于正无穷>

Answer 1

楼上反证法的第一步就错了，x(n) 不趋于无穷并不代表一定趋于某个常数，也可以是完全没有极限的情形。

如果 x(n) 不以正无穷为极限，则存在实数 M，对任何正整数 N，总存在 m>N 使得 x(m)<N。那么存在常数 c>0 使得 f(x(m))>f(M)>lim{x->+oo}f(x) + c，比如可取 c=f(M)-f(M+1)，于是 limsup{n->oo}f(x(n))>=lim{x->+oo}f(x)+c，矛盾。

Answer 2

反证法：
假设当n趋于无穷的时候，Xn并不趋于无穷，而是等于某一个数M。
又因为题目中有：lim<n趋于无穷> f（x（n））= lim<x趋于无穷>f（x）
所以就有f（M）=f（+无穷）
但是，上面的式子与f（x）在[a，正无穷）上严格单调下降矛盾（要是严格单调下降的话，不应该有两个函数值相等）
所以假设错误
所以当n趋于无穷的时候，Xn趋于正无穷

注意：x不可能是负无穷，因为x必须满足f的定义域，即x》a