Question

10.求一_Lln[4(x^2+y^2)-7]dS x^2+y^2=4.L为圆周

Answer 1

根据题意，L为圆周，其中 x^2+y^2=4 是圆的方程，可以进行参数化表示。令 x=2cosθ，y=2sinθ，则圆周L可以表示为：
L: r(t) = (2cos(t), 2sin(t)), t∈[0, 2π]
现在需要计算表面积积分：
∬Lln[4(x^2+y^2)-7]dS
根据表面积积分的公式，可以将其转化为对参数t的积分：
∬Lln[4(x^2+y^2)-7]dS = ∫[0,2π]ln[4(r(t)^2)-7] ||r'(t)|| dt
其中 ||r'(t)|| 表示 r(t) 的长度，即：
||r'(t)|| = √[x'(t)^2 + y'(t)^2] = √[(-2sin(t))^2 + (2cos(t))^2] = 2
因此，上述式子可以进一步化简为：
∬Lln[4(x^2+y^2)-7]dS = 2∫[0,2π]ln[4(2^2)-7] dt = 2ln(1)
注意到 ln(1) = 0，因此表面积积分的结果为：
∬Lln[4(x^2+y^2)-7]dS = 0
因此，所求的表面积积分为0。