Question

7.求适合方程 3x+1=5y+4=7z+5 的全部正整数解.

Answer 1

这实际上是一个三元一次方程组，但只能改写成两个独立的方程。
未知数个数比方程个数多的方程（方程组）叫做不定方程。
不定方程一般有无数组解。
解:这个方程可以改写成如下方程组:
3x+1=5y+4…………①
3x+1=7z+5…………②
由①得 3x=5y+3
任意给定y一个值，都可以求出相对应的一个x值。例如
y=0，x=1；y=3，x=6；y=6，x=11；y=9，x=16；……
由②得 3x=7z+4
任意给定z一个值，都可以求出相对应的一个x值。例如
z=2，x=6；
z=5，x=13；
z=8，x=20；
z=11，x=27；
z=14，x=34；
z=17，x=41；……
从上面两个二元一次方程的解中找出相等的x值，就可以得到原三元一次方程组的解。例如
x=6，y=3，z=2；
x=41，y=42，z=17；
x=76，y=45，z=32；
x=111，y=66，z=47；
……
可见，适合这个方程组的正整数解有无数组，无法写出全部。这个方程组的通解是
x=35n+6，
y=21n+3，
z=15n+2，
其中，n为自然数。

Answer 2

这个方程并不能有全部正整数解，因为$x$, $y$, $z$ 是三个未知数，但方程中却给出了三个等式，应该只有可以同时满足这三个等式才能有一个整数解。但是三个等式中没有一个是另一个的倍数，所以这个方程组无解。

Answer 3

由3x+1=5y+4=7z+5可得，
x=（5y+3）/3，z=（5y-1）/7，保证两式均为正整数情况下y=3，此时x=6，z=2，
所以全部正整数解为：x=6，y=3，z=2。