Question

以5为底0.3的对数于以3为底0.5的对数比较大小

详细~~

Answer 1

解：

为方便表示，用log(a,b)表示以a为底b的对数，则

我们设:

log(5, 0.3)=m

log(3, 0.5)=n

则5^m=0.3

3^n=0.5

∴5*5^m=0.3*5=1.5

3*3^n=0.5*3=1.5

∴5*5^m=3*3^n

∴5^(m+1)=3^(n+1)

∵底数5＞底数3＞1

∴m+1＜n+1

∴m＜n

∴log(5, 0.3)＜log(3, 0.5)

祝愉快！

Answer 2

解：log(5)(0.3)=lg0.3/lg5
=(lg3-1)/lg5,
log(3)(0.5)=lg0.5/lg3
=(lg5-1)/lg3,
令 f(x)=x(x-1),则
f(x)=(x-1/2)^2-1/4.
因为 3<根号10<5,
所以 lg3<1/2<lg5,
又因为 (1/2-lg3)-(lg5-1/2)=1-lg15<0,
所以 1/2-lg3<lg5-1/2,
所以 f(lg3)<f(lg5).
即 lg3(lg3-1)<lg5(lg5-1).
所以 (lg3-1)/lg5<(lg5-1)/lg3.
所以 log(5)(0.3)<log(3)(0.5).

= = = = = = =
说明:
(1)对数问题，先用换底公式。
(2)要比较分式a/b和c/d，先比较ad和bc。
(3)二次函数f(x)=(x-1/2)^2-1/4,根据图象来判断f(lg3)和f(lg5)。
因为lg3<1/2<lg5，所以哪个更靠近1/2，哪个的函数值f(x)更小。
(4)因为 lg3(lg3-1)<lg5(lg5-1)，两边除以lg3*lg5，得
(lg3-1)/lg5<(lg5-1)/lg3.
这一步要小心！否则前功尽弃。

Answer 3

用换底公式
log5(0.3)=log0.3(0.3)/log0.3(5)=log0.3(0.2)
log3(0.5)=log0.5(0.5)/log0.5(3)=log0.5(0.33)=log0.33(0.33)/log0.33(0.5)=log0.33(2) 约等于log0.3(2)
因为 log0.3(x)为增函数
所以log0.3(0.2)<log0.3(2)
即log5(0.3)<log3(0.5)