Question

求解一道定积分

Answer 1

∫(x^2+1)dx/(x^4+1)
=∫[1+(1/x^2)]dx/[x^2+(1/x^2)] (上下同时除以x^2)
因为：d(x-1/x)=[1+(1/x^2)]dx,所以：
=∫d(x-1/x)/[(x-1/x)^2+(√2)^2]+c
=1/√2*arctan[(x-（1/x)）/ √2]+c
此步骤利用到了积分公式：
∫dx/(x^2+a^2)=(1/a)arctan(x/a)+c.

再来求定积分，因为当x趋近于正无穷大时，x-1/x趋近于正无穷大，此时反正切部分趋近于π/2，所以此时=（√2/2）*（π/2）=√2π/4；;

当x趋近于0时，x-1/x趋近于负无穷大，此时反正切部分趋近于-π/2，所以此时=（√2/2）*（-π/2）=-√2π/4;

所以本题的最终结果=√2π/4-（-√2π/4）=√2π/2。