计算∫∫∫(x+y+z^2)dV，其中Ω即区域范围是由曲面x^2+y^2-Z^2=1和平面z=H,z=-H(H>0)所围成。
积分区域为单叶双曲面与上下两平行平面z=h,z=-h所围成空间区域。
在XOZ平面和YOZ平面的截面是等轴双曲线，在XOY平面是半径为1的圆，上下底面为半径为√（1+h^2)的圆。
该积分区域被XOY平面分成上下对称两部分，故只积上半部即可，另八个卦限都相同，只要积其中一个卦限即可。
为简便，化成柱面坐标。
∫∫∫(x+y+z^2)dV。
=8∫(0→π/2） dθ∫（0→√（1+h^2)）(rdr）∫(0→h)(rcos+rsinθ+z^2)dz。
=8∫(0→π/2） dθ∫（0→√（1+h^2)）[rcosθ+rsinθ）h+h^3/3)rdr。
=8∫(0→π/2） dθ[(hr^3/3)cosθ+(hr^3/3)sinθ+r^2h^3/6](0→√（1+h^2))。
=8∫(0→π/2） dθ[(1/3)h(1+h^2)^(3/2)cosθ+[(1/3)h(1+h^2)^(3/2)sinθ+(1+h^2)h^3/6]。
=8h(1+h^2)/3∫(0→π/2） [√（1+h^2)cosθ+√（1+h^2)sinθ+h^2/2]。
=8h(1+h^2)/3[√（1+h^2)(sinθ-cosθ)+θh^2/2) ]((0→π/2）。
=8h(1+h^2)/3[√（1+h^2)(1-0-0+1)+πh^2/4]。
=8h(1+h^2)/3(2√（1+h^2)+πh^2/4)。
=2h(1+h^2)(8√（1+h^2)+πh^2)/3。
学数学的小窍门
1、学数学要善于思考，自己想出来的答案远比别人讲出来的答案印象深刻。
2、课前要做好预习，这样上数学课时才能把不会的知识点更好的消化吸收掉。
3、数学公式一定要记熟，并且还要会推导，能举一反三。
4、学好数学最基础的就是把课本知识点及课后习题都掌握好。
5、数学80%的分数来源于基础知识，20%的分数属于难点，所以考120分并不难。
6、数学需要沉下心去做，浮躁的人很难学好数学，踏踏实实做题才是硬道理。
由于区域的对称性和函数的奇偶性,可知,
∫∫∫(x+y)dV=0.即以下只要计算:
∫∫∫z^2)dV.
再由对称性:
∫∫∫(x+y+z^2)dV=8倍在Q1上的积分.
用柱坐标用,化为:
∫∫∫z^2rdrdadz (a表示极角)
积分域Q1表达为:
0<z<H,
0<a<pi/2,
0<r<根号(1+z^2)
首先:对r积分(区间:0<r<根号(1+z^2):
=z^2*(r^2)/2的上限值-下限值
=z^2[(1+z^2)-0]/2=
然后,对a 积分,区间(0, pi/2)
(z^4 对a是常量)故积分得:
=(pi/2)*(z^4+z^2)/2
最后,对z积分,区间( 0,H)
=(pi/2)*[(z^5)/5+(z^3)/3]/2 的上限值-下限值
=(pi/2)*[(H^5)/5+(H^3)/3]/2
原积分=8*(pi/2)*[(H^5)/5+(H^3)/3]/2
=2*pi*[(H^5)/5+(H^3)/3]
在XOZ平面和YOZ平面的截面是等轴双曲线，在XOY平面是半径为1的圆，上下底面为半径为√（1+h^2)的圆，
该积分区域被XOY平面分成上下对称两部分，故只积上半部即可，另八个卦限都相同，只要积其中一个卦限即可，
为简便，化成柱面坐标，
∫∫∫(x+y+z^2)dV
=8∫(0→π/2） dθ∫（0→√（1+h^2)）(rdr）∫(0→h)(rcos+rsinθ+z^2)dz
=8∫(0→π/2） dθ∫（0→√（1+h^2)）[rcosθ+rsinθ）h+h^3/3)rdr
=8∫(0→π/2） dθ[(hr^3/3)cosθ+(hr^3/3)sinθ+r^2h^3/6](0→√（1+h^2))
=8∫(0→π/2） dθ[(1/3)h(1+h^2)^(3/2)cosθ+[(1/3)h(1+h^2)^(3/2)sinθ+(1+h^2)h^3/6]
=8h(1+h^2)/3∫(0→π/2） [√（1+h^2)cosθ+√（1+h^2)sinθ+h^2/2]
=8h(1+h^2)/3[√（1+h^2)(sinθ-cosθ)+θh^2/2) ]((0→π/2）
=8h(1+h^2)/3[√（1+h^2)(1-0-0+1)+πh^2/4]
=8h(1+h^2)/3(2√（1+h^2)+πh^2/4)
=2h(1+h^2)(8√（1+h^2)+πh^2)/3.
