Question

关于高一指数函数的问题

f(x)=[(2)^x -1]/[(2)^x+1] ,
1.求定义域,值域;
2.讨论f（x）的奇偶性
3.讨论f（x）的单调性

Answer 1

解：

1、定义域是2^x +1≠0，恒成立

∴定义域是R

f(x)=1 +[-2/(1+2^x)]

1+2^x∈(1,+∞)

-2/(1+2^x)∈(-2,0)

∴1 +[-2/(1+2^x)]∈(-1,1)

此即值域

2、
∵f(-x)
=[1/2^x -1]/[1/2^x +1]
=[1-2^x]/[1+2^x]
=-f(x)

∴是奇函数

3、f(x)=1 +[-2/(1+2^x)]

1+2^x＞1+0=1

∴随着x的增大，1+2^x递增，且恒为正，

∴-2/[1+2^x]递增

∴1+[-2/(1+2^x)]递增

即f(x)在定义域内是增函数

…………………………………………………………………………

第三问还可以严格来证明

f(x)=1 +[-2/(1+2^x)]

任意取m＞n，则

f(m)-f(n)
=1+[-2/(1+2^m)]-1-[-2/(1+2^n)]
=2/(1+2^n) -2/(1+2^m)
=2(2^m -2^n)/[(1+2^m)(1+2^n)]

∵1+2^m＞0，1+2^n＞0

∴只要判断2^m-2^n即可

∵m＞n，2^x是增函数

∴2^m＞2^n

∴f(m)-f(n)＞0

∴f(x)在R上是增函数

祝愉快！

Answer 2

1.定义域为正负无穷区间。
原式可化为f（x）=1-2/[(2)^x+1] ，
当x趋向正无穷f（x）=1，趋向负无穷，f（x）=-1.故为值域[-1,1]。
2.f（-x）=[(2)^-x -1]/[(2)^-x+1] ,分子分母同乘以(2)^x得
f（-x）=-[(2)^x -1]/[(2)^x+1] =f（x）故为奇函数。
3.f（x）=1-2/[(2)^x+1]
因为(2)^x为增函数，分数为减函数，加负号为增函数
故f（x）为增函数。