Question

高中数学知识，解三角形

1、 在△ABC及△A1B1C1中，有SinA=CosA1，SinB=CosB1 ，SinC=CosC1
(1) 求证：△ABC是钝角三角形，钝角的最大角度是多少？
(2) Sin2A+Sin2B+Sin2C的最值

Answer 1

由SinA=CosA1，SinB=CosB1 ，SinC=CosC1里的信息：
(1)0<SinA=CosA1，0<SinB=CosB1 ，0<SinC=CosC1
可知A1、B1、C1都是锐角；
(2)A=90°-A1或者A=90°+A1；
B=90°-B1或者B=90°+B1；
C=90°-C1或者C=90°+C1。
如果都取减号，由A+B+C=90°-A1+90°-B1+90°-C1=270°-A1-B1-C1=270°-180°=90°与A+B+C=180°矛盾
所以必有一个也只有唯一一个是取加号的,即△ABC是钝角三角形，。
不妨设A=90°+A1，那么B=90°-B1；C=90°-C1。
180°=A+B+C=90°+A1+90°-B1+90°-C1=270°+A1-B1-C1=270°+A1-(180°-A1)=90°-2A1
A1=45°
钝角A=135°

sin2A+sin2B+sin2C=sin270°+sin2B+sin2C
=-1+2sin(B+C)sin(B-C)
=-1+根号2*sin(B-C)
A=135°，那么0°<B<45°,0°<C<45°
-45°<B-C<45°
-根号2/2<sin(B-C)<根号2/2
-2<sin2A+sin2B+sin2C<0
解答中度数可以用π=180°转换