Question

已知椭圆X2/a2+Y2/b2=1(a>b>0)的离心率为根号3/2,过右焦点

已知椭圆C：X2/a2+Y2/b2=1(a>b>0)的离心率为（根号3)/2,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C交于A，B两点，若向量AF=3向量FB，求k

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Answer 1

作椭圆x²/a²＋y²/b²=1的右准线，
过点A、B分别引右准线的垂线，垂足分别是D、C，
过点A作BC的垂线，垂足是H。
设FB=t，则FA=3t，
由椭圆第二定理，
得：AD=3t/e，BC=t/e，
则BH=2t/e，
在直角三角形ABH中，AB=4t，BH=2t/e=4t/√3，
所以AH=(4√6t)/3，
则tan(∠ABH)=AH/BH=√2，
即直线AB的斜率k=√2。