Question

已知二次函数y=x^2-(m+1)x+m-1.

已知二次函数y=x^2-(m+1)x+m-1.
无论m为何实数值时，，函数的图像总与x轴有交点。
当m为何实数值时，这两个交点间的距离最小？最小距离是多少？

Answer 1

与x轴有交点,说明方程
x^2-(m+1)x+m-1=0有实根
根据韦达定理
x1+x2=m+1
x1x2=m-1
所以
(x1-x2)^2
=(x1+x2)^2-4x1x2
=(m+1)^2-4(m-1)
=m^2-2m+1+4
=(m-1)^2+4
|x1-x2|=√((m-1)^2+4)
所以当m=1时,两个交点间的距离最小,最小距离为2

Answer 2

函数的图像总与x轴有交点 即y=0
这时 成了一元二次方程了
求根公式
X1=(-b+根号下b平方-4ac)/2a
X2=(-b-根号下b平方-4ac)/2a

则距离L=X2-X1=......=(根号下b平方-4ac)/a
依题 a=1 b=-(m+1) c=m-1
代入得 L的平方=(m-1)的平方+4
故L的平方最小为4 L最小为2