Question

如图所示，等边△ABC中，点D是AC的中点，点F是BC延长线上一点，且CF=CD,DG⊥BC于G点，求证点G是BF的中点

如图所示，等边△ABC中，点D是AC的中点，点F是BC延长线上一点，且CF=CD,DG⊥BC于G点，求证点G是BF的中点

Answer 1

∵CF=CD（已知）
∴∠F=∠FDC（等边对等角）
∵△ABC为等边三角形（已知）
∴∠ACB=∠ABC=60°
∴∠ACF=120°
所以∠F=∠FDC=30°
∵D是AC的中点（已知）
∴∠ABD=∠DBG（三线合一）
∴∠DBG=30°
∵DG⊥BC于G（已知）
∴∠DGB=∠DGF=90°
∴∠BDG=∠FDG=60°
在△DBG和△DFG中
∠BDG=∠FDG（已证）
DG=DG（公共边）
∠DGB=∠DGF（已证）
∴△DBG≌△DFG（ASA）
∴BG=FG（全等三角形的对应边相等）
∴点G是BF的中点