Question

已知f(x)是实数集R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=loga(x+1)（其中a>0,a≠1） （1）求函数f（x）的解析式

（2）当|f（x）|>1时，写出x的范围。

Answer 1

(1)因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0，且对于x<0,f(x)=-f(-x)=-loga(-x+1)，因此f(x)在R上的表示为:f(x)=loga（x+1)(x>=0)以及-logs(1-x)(x<0);
(2)①若x>=0,由loga(x+1）有意义知x>-1；|f(x)|>1等价于|loga(x+1)|>1,
即loga(x+1)>1或<-1。
若a>1,解之,x>a-1;
若0<a<1，解之，x>1/a-1;
②若x<0,由loga(1-x）有意义知x<1；|f(x)|>1等价于|loga(1-x)|>1,
即loga(1-x)>1或<-1。
若a>1,解之,x<1-a;
若0<a<1，解之，x<1-1/a;（其实②的讨论可可由函数的奇偶性直接得到）
综上,a>1时,解为x>a-1或x<1-a；0<a<1时,解为x>1/a-1或x<1-1/a；