Question

已知函数定义域为(0,+∞)且满足f(2)=1,f(x+y)=f(x)+f(y).当x2>x1时，f(x2)>f(x1)

已知函数定义域为(0,+∞)且满足f(2)=1,f(x+y)=f(x)+f(y).当x2>x1时，f(x2)>f(x1)

若有f(x)+f(x-2)≤3成立，求x的取值范围
天啊 哪个答案是对的啊

Answer 1

f(x)+f(x-2)=f(x)+[f(x)-f(2)]=2f(x)-1<=3,f(x)<=2,
又f(x2)>f(x1),当x1<x2时,所以f(x)为增函数,
f(4)=f(2)+f(2)=2;
f(x)<=2=f(4)
又x-2在定义域内，x-2>0,x>2
所以2<x<=4

Answer 2

由题f(2)=1,f(x+y)=f(x)+f(y)
f(6)=f(4+2)=f(4)+f(2)=f(2+2)+f(2)=3f(2)=3
所以不等式可以变形为
f(x)+f(x-2)=f(2x-2)≤3=f(6)
当x2>x1时，f(x2)>f(x1)
函数在定义域为增函数
所以不等式等价为
2x-2>0,2x-2≤6
解得 1<x≤4

Answer 3

f(x+y)=f(x)+f(y),x=y=2 则 f（4）=f（2）+f（2）=2
再令x=4，y=2得f(6)=f(4)+f(2)=3
f(x)+f(x-2)≤3即f(x)+f(x-2)≤f（6），由当x2>x1时，f(x2)>f(x1）
得x+x-2<=6且x>0,x-2>0,2x-2>0 那么 2<x<=4

Answer 4

这个问题属于一般型的 解法如下
根据题意 在其定义域内有f（x+y）=f（x）+f（y）
则有 f（x-2）+f（x）=f（x-2+x）=f（2x-2）
由题意 若有f(x)+f(x-2)≤3成立只需
f（2x-2）≤3
又当x2>x1时，f(x2)>f(x1)
即2x-2小于等于3 即x小于等于2.5
又函数定义域为(0,+∞)则x的取值范围为
x大于0小于等于2.5