Question

函数题，拜托过程写详细点儿！

某地区地理环境偏僻，严重制约经济发展，其土特产品只能在本地销售，该地区政府每投资x万元，所获利润为P=-1/160(x-40)^2+10万元。为顺应“西部大开发”的宏伟决策，该地区政府在制定经济发展十年规划时，拟开发此种土特产品，而开发前后用于该项目投资的专项财政拨款每年都是60万元。若开发该产品，必须在前5年中，每年从60万元专款中拿出30万元投资修通一条公路，且5年可以修通。公路修通后该土特产品在异地销售，每投资x万元，可获利润Q=-159/160(60-x)^2+119/29(60-x)万元。问从十年的总利润看，该项目有无开发价值？

Answer 1

解：
若按原来投资环境不变，由题设知，每年只要从60万元专款中拿出40万元投资，可获最大利润10万元．这样10年总利润的最大值为W＝10×10＝100（万元）．

若对该产品开发，则前5年中，当x＝30时，Pmax＝（75／8），前5年的总利润为
�� W1＝（75／8）×5＝（375／8）（万元）．

设后5年中，x万元用于本地销售投资，60－x万元用于异地销售投资，则总利润
�� W2＝〔－（1／160）（x－40）2＋10〕×5＋〔－（159／160）x2＋（119／2）x〕×5��＝－5（x－30）2＋4500．

从而当x＝30时，W2的最大利润为4500万元．于是10年总利润的最大值为375／8＋4500万元．

∵ 375／8＋4500＞100，
∴ 该项目具有极大的开发价值