Question

求借数学题

设a大于0,已知函数f(x)=e的x方(ax平方+x+1)

讨论函数单调性

Answer 1

先求f（x）的导数f'（x）＝e^x（ax^2+x+1）+e^x（2ax+1）＝e^x*〔ax^2+（2a+1）x+2〕，
因为x为实数时，e^x>0，所以f（x）单调性取决于后面的项〔ax^2+（2a+1）x+2〕的正负（定义为g（x）），而g（x）＝ax^2+（2a+1）x+2＝（ax+1）*(x+2），令g（x）＝0，则x＝-1/a或x＝-2。
1、当a＝1/2时，g（x）和f'（x）总是>=0，且仅在x＝-2时等于0，因此f（x）单调递增。
2、当0<a<1/2时，-1/a<-2,此时，当-1/a<x<-2时g（x）和f'（x）小于0，f（x）单调递减；当x＝<-1/a或x>=-2时，g（x）和f'（x）>=0，f（x）单调递增。
3、当a>1/2时，-1/a>-2,此时-2<x<-1/a时g（x）和f'（x）小于0，f（x）单调递减；当x＝<-2或x>=-1/a时，g（x）和f'（x）>=0，f（x）单调递增。