Question

数学椭圆

已知椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点F1，F2，当a,b满足什么关系时，椭圆存在点P，使三角形F1PF2为直角三角形（角F1PF2为90度）？这样三角形有几个

Answer 1

若〈F1PF2=90度，则根据勾股定理，
PF1^2+PF2^2=F1F2^2,
设椭圆焦点坐标F1（-c,0),F2(c,0),
|F1F2|=2c,
c=√（a^2-b^2),
PF1^2+PF2^2=4c^2=4(a^2-b^2),
|PF1|+|PF2|=2a,
(|PF1|+|PF2|)^2=4a^2,
PF1^2+PF2^2+2|PF1|*|PF2|=4a^2,
4(a^2-b^2)+2|PF1|*|PF2|=4a^2,
|PF1|*|PF2|=2b^2,
|PF1|(2a-|PF1|)=2b^2,
|PF1|^2-2a|PF1|+2b^2=0,
要使方程有意义，则△=4a^2-8b^2>=0,
a^2>=2b^2,
∴a≥√2b,
以原点为圆心，以c为半径作圆，若a>√2b,则有4个交点，有4个这样的三角形，每个象限一个顶点。
当b=c时，椭圆与圆相切，在短轴两个端点，共有2个交点，此时就有两个这样的三角形。

Answer 2

本题并不难，但是有点繁，试解如下：
设点P(x,y)符合要求，则
x²/a²+y²/b²=1
因对称性，不妨设y>0,x>=0
解出y得
y=(b/a)√(a²-x²)
点 F1(-√(a²-b²),0),F2(√(a²-b²),0)
因此
PF1的斜率 k1=[(b/a)√(a²-x²)]/[x+√(a²-b²)]
PF2的斜率 k2=[(b/a)√(a²-x²)]/[x-√(a²-b²)]
由垂直条件
k1·k2=-1
∴ (b²/a²)(a²-x²)/[x²-(a²-b²)]=-1
从该式中解出 x² 得
x²=[a²(a²-2b²)]/(a²-b²) (*)
∵ a²>0,a²-b²>0
可见(*)有实数解的充要条件是: a²-2b²>=0
或者 a²/b²>=√2
当 a²/b²=√2 时有两个解，分别是短轴的两个端点，
当 a²/b²>√2 时有四个解，分别位于四个象限。

Answer 3

解：可设点P(acost,bsint).F1(-c,0),F2(c,0).由F1P⊥F2P,可得向量F1P·向量F2P=0.===>(acost+c,bsint)·(acost-c,bsint)=0.===>a²cos²t-c²+b²sin²t=0.===>sin²t=b²/c²≤1.===>b²≤a²-b².===>a≥(√2)b.(1）当sint=±1时，cost=0.此时点P有2个，（2）当sint≠±1时数形结合可知，符合题设的三角形有4个。

Answer 4

要么不存在，要么二个，要么存在存在四个。
思考方法：如果存在，则必须满足（F1F2）^2=(PF1)^2+(PF2)^2，根据焦半径公式知，（2c）^2=(a-ex)^2+(a+ex)^2 （x为P点的横坐标）化简得：x^2=2a^2-(a^4/c^2)
因此，右边小于即（解出ab的关系），则不存在；右边等于零即a^2=2b^2,存在一个x，两个点；右边大于0即（解出ab的关系），存在二个x，四个点；
我就不解了，方法如此，自己去算