Question

又是一道高中函数问题

已知函数f(x)是定义在正实数集上的减函数 且满足f(xy)=f(x)+f(y)；f(1/3)=1 求f(1)

（2）若f(x)+f(2-x)＜2 求x的取值范围

过程和结果 求了

Answer 1

(1) ∵f(xy)=f(x)+f(y)
∴f(x*1)=f(x)+f(1)
f(1)=0

(2)解不等式f(x)+f(2-x)<2
∵f(xy)=f(x)+f(y)
∴f(x)+f(2-x)=f[x(2-x)]
又f(1/3)=1
∴f(1/9)=f(1/3)+f(1/3)=2
即f[x(2-x)]<f(1/9)

又f(x)是定义在正实数集上的减函数
∴x(2-x)>1/9
9x²-18x+1<0
(3-2√2)/3<x<(3+2√2)/3

又定义域是x>0
∴2-x>0,且x>0
∴0<x<2

综上，x的取值范围为
(3-2√2)/3<x<(3+2√2)/3

Answer 2

(1)f(1)=f(1²)=f(1)+f(1).===>f(1)=0.又f(1/9)=2f(1/3)=2.(2)f(x)+f(2-x)＜2.===>x,2-x＞0.且f[x(2-x)]＜f(1/9)===>0＜x＜2,且x(2-x)＞1/9.===>(3-2√2)＜x＜(3+2√2)/3.

Answer 3

解：(1)令x=y=1,得f(1)=0;
(2)令x=y=1/3,得f(1/9)=f(1/3)+f(1/3)=2
所以：f(x)+f(2-x)<f(1/9)
即：f(2x-x^2)<f(1/9)
因为：f(x)是定义在正实数集上的减函数；
所以：2x-x^2>1/9
2x-x^2>0
解之得：1-2√2/3＜x＜1+2√2/3且0<x<2
综上得：0<x<1+2√2/3.

Answer 4

解:
(1)令x=y=1 则有 f(1*1)=f(1)+f(1)
即f(1)=2f(1) f(1)=0
(2)因为f(x)在正实数上单调递减
所以当0<x<2是f(x)+f(2-x)＜2 成立的前提
利用f(xy)=f(x)+f(y)将不等式左边转化为
f(2x-x*x)<2
2=1+1=f(1/3)+f(1/3)=f(1/9)
又因其单调递减故可得不等式
2x-x*x>1/9 又0<x<2
解这两个不等式得0<x< 1-2√2 /3
1+2√2 /3 <x<2