Question

已知函数Y=cos²x+sinx,求在区间【-π/4,π/4】上的最小值

Answer 1

Y=cos²x+sinx
=1-sin²x+sinx
=-(sin²x-sinx+1/4)+1+1/4
=-(sinx-1/2)²+5/4
=5/4-(sinx-1/2)²

函数sinx在区间【-π/4,π/4】是增函数，
则要使y最小，则要使(sinx-1/2)²最大，
即 在区间【-π/4,π/4】内|sinx-1/2|最大，
则当x=-π/4时，|sinx-1/2|值最大。
则
y=5/4-(-√2/2-1/2)²
=5/4-(2/4+2√2/4+1/4)
=5/4-3/4-√2/2
=1/2-√2/2

Answer 2

y' = -2*cosX*sinX + cosX
即 y' = cosX*(1-2*sinX)
在【-π/4,π/4】上cosX始终为正，故y'的正负只与1 － 2*sinX有关系
而在【-π/4,π/4】上sinX的值随X的增加而增大，故y'的值在X＝-π/4有最大值，在X＝π/4时有最小值，其中y'的值由X＝-π/4的最大的正值变为X＝π/4时的最小的负值，并且当1-2*sinX ＝ 0即X＝π/6 时y'＝0
所以函数Y=cos²x+sinx 在【-π/4,π/6】上单调增加，在【π/6,π/4】上单调在减小，在X＝π/6时有最大值，相应的最小值你应该知道怎么求了吧！
只需比较两端点的纵座标的大小就可以了，小的那个就是最小值。 最小为1/2 - √2/2