Question

一道高中数学题1^2+3^2+5^2+......(2n+1)^2=?

打不出上标点，所以用^2表示求平方
比如：3＾2表示3的平方
答案＝(n+1)(2n+1)(2n+3)/3
我想知道怎么算出来的，各位帮帮忙

Answer 1

在解这个题之前，你应该知道数列
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+……n^2=1/6n(n+1)(2n+1)
这个等式成立吧！

这个等式是数列中的基本等式，证明在数学书上应该有的。
若没有的话参考：http://zhidao.baidu.com/question/14256442.html

我不再重复证明了。

那么很容易得到1^2+3^2+5^2+......(2n+1)^2=(n+1)(2n+1)(2n+3)/3

解答过程如下：

因

1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+……n^2=1/6n(n+1)(2n+1)

则
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+……+(2n)^2+(2n+1)^2=1/6(2n+1)[(2n+1)+1][2(2n+1)+1]
化简后
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+……+(2n)^2+(2n+1)^2=1/3(n+1)(2n+1)(4n+3)
即
[1^2+3^2+5^2+......+(2n+1)^2]+[2^2+4^2+6^2+.....+(2n)^2]=1/3(n+1)(2n+1)(4n+3)
即
[1^2+3^2+5^2+......+(2n+1)^2]+4(1^2+2^2+3^2+......+n^2)=1/3(n+1)(2n+1)(4n+3)
将已知等式1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+……n^2=1/6n(n+1)(2n+1)代入

得
[1^2+3^2+5^2+......+(2n+1)^2]+2/3n(n+1)(2n+1)=1/3(n+1)(2n+1)(4n+3)

所以
1^2+3^2+5^2+......+(2n+1)^2 = 1/3(n+1)(2n+1)(4n+3)-2/3n(n+1)(2n+1)
=(n+1)(2n+1)(2n+3)/3

证毕！

Answer 2

这是数列问题 不难
公式:1^2+2^2+3^2+……+n^2 =n(n+1)(2n+1)/6
故
1^2+2^2+3^2+……+(2n+1)^2 =(2n+1)(n+1)(4n+3)/3
2^2+4^2+6^2+……+(2n)^2 =4[1^2+2^2+3^2+……+n^2]=2n(n+1)(2n+1)/3
两式像减得
所求=(2n+1)(n+1)(4n+3)/3-2n(n+1)(2n+1)/3
=(n+1)(2n+1)(2n+3)/3

Answer 3

公式:1^2+2^2+3^2+……+n^2 =n(n+1)(2n+1)/6
故
1^2+2^2+3^2+……+(2n+1)^2 =(2n+1)(n+1)(4n+3)/3
2^2+4^2+6^2+……+(2n)^2 =4[1^2+2^2+3^2+……+n^2]=2n(n+1)(2n+1)/3
两式像减得
所求=(2n+1)(n+1)(4n+3)/3-2n(n+1)(2n+1)/3
=(n+1)(2n+1)(2n+3)/3