在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F。求证：AB2:AC2=BF:CF
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因为FE为AD的垂直平分线，所以角DAF=角ADF
ADF=BAD+ABD，而AD为角平分线，BAD=DAC，
DAF=DAC+CAF=BAD+CAF，而又有ADF=BAD+ABD和DAF=ADF，因此BAD+CAF=BAD+ABD
CAF=ABD，而AFC=AFB，因此△ACF∽△BAF.
所以面积比即相似比的平方为AB^2:AC^2
又以BF，CF为底边时，高相同，所以面积比为BF:CF
所以可得：AB^2:AC^2=BF:CF
ADF=BAD+ABD，而AD为角平分线，BAD=DAC，
DAF=DAC+CAF=BAD+CAF，而又有ADF=BAD+ABD和DAF=ADF，因此BAD+CAF=BAD+ABD
CAF=ABD，而AFC=AFB，因此△ACF∽△BAF.
所以面积比即相似比的平方为AB^2:AC^2
又以BF，CF为底边时，高相同，所以面积比为BF:CF
所以可得：AB^2:AC^2=BF:CF
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