Question

已知等差数列的前n项和为Sn,若向量OB=a1向量OA+a200向量OC且A、B、C三点共线（该直线不过原点O）则S200=?

Answer 1

因为A、B、C共线，设向量AB=λ向量BC（以下向量二字省略）
AB=OB-OA=(A1-1)OA+A200OC=λBC=λOB-λOC=λA1OA-(λA200-λ)OC
(A1-1-λA1)OA=-(λA200-λ-A200)OC
因为OAC不共线
(1-λ)A1-1=0
(λ-1)A200-λ=0
A1=1/(1-λ)
A200=λ/(λ-1)
A1+A200=1
S200=100(A1+A200)=100

Answer 2

A、B、C三点共线,则存在唯一实数t，使AB=tAC。
即有OB-OA=t(OC-OA),
OB =tOC+(1-t)OA, t+(1-t)=1.
向量OB=a1向量OA+a200向量OC,
则有a1 +a200=1，
则S200=200(a1 +a200)/2=100.

Answer 3

知识点：O为平面上一点，则A,B,C共线的充要条件是向量OB=入1向量OA+入2向量OC （入1+入2=1）
向量OB=a1向量OA+a200向量OC且A、B、C三点共线 则a1+a200=1=2a1+199d
S200=200a1+200*199*d/2=200a1+19900d=100(2a1+199d)=100