Question

【高一数学】已知函数f(x)=（a-2^x）/（2^x+1）

已知函数f(x)=(a-2^x)/(2^x+1)
1.讨论函数f（x）的单调性
2.若f（x）为奇函数，求f（x）的值域，并用单调性的定义证明函数的单调性..
谢谢了，帮个忙

Answer 1

解：

1、f(-x)
=[a-2^(-x)]/[1+2^(-x)]
=[a*2^x -1]/[1+2^x]

-f(x)=[-a+2^x]/[1+2^x]

∴当-a+2^x=a*2^x -1

即a=1时，f(-x)=-f(x)，则f(x)是奇函数

若a≠1，则f(x)是非奇非偶函数

2、若f(x)是奇函数，则a=1

f(x)=(1-2^x)/(1+2^x)

=-1 +[2/（1+2^x)]

∵2^x＞0

∴1+2^x＞1

∴1/(1+2^x)∈（0,1）

∴2/(1+2^x)∈(0,2)

∴f(x)∈(-1,1)

此即值域

任意取m＞n，则

f(m)-f(n)
=-1+[2/(1+2^m)]+1-[2/(1+2^n)]
=2*(2^n -2^m)/[(1+2^m)(1+2^n)]

∵2^m＞2^n，1+2^m＞0,1+2^n＞0

∴f(m)-f(n)＜0

∴f(m)＜f(n)

∴f(x)是减函数

祝愉快！