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【高一数学】已知函数f(x)=(a-2^x)/(2^x+1)
已知函数f(x)=(a-2^x)/(2^x+1)1.讨论函数f(x)的单调性2.若f(x)为奇函数,求f(x)的值域,并用单调性的定义证明函数的单调性..谢谢了,帮个忙...
已知函数f(x)=(a-2^x)/(2^x+1)
1.讨论函数f(x)的单调性
2.若f(x)为奇函数,求f(x)的值域,并用单调性的定义证明函数的单调性..
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1.讨论函数f(x)的单调性
2.若f(x)为奇函数,求f(x)的值域,并用单调性的定义证明函数的单调性..
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解:
1、f(-x)
=[a-2^(-x)]/[1+2^(-x)]
=[a*2^x -1]/[1+2^x]
-f(x)=[-a+2^x]/[1+2^x]
∴当-a+2^x=a*2^x -1
即a=1时,f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数
若a≠1,则f(x)是非奇非偶函数
2、若f(x)是奇函数,则a=1
f(x)=(1-2^x)/(1+2^x)
=-1 +[2/(1+2^x)]
∵2^x>0
∴1+2^x>1
∴1/(1+2^x)∈(0,1)
∴2/(1+2^x)∈(0,2)
∴f(x)∈(-1,1)
此即值域
任意取m>n,则
f(m)-f(n)
=-1+[2/(1+2^m)]+1-[2/(1+2^n)]
=2*(2^n -2^m)/[(1+2^m)(1+2^n)]
∵2^m>2^n,1+2^m>0,1+2^n>0
∴f(m)-f(n)<0
∴f(m)<f(n)
∴f(x)是减函数
祝愉快!
1、f(-x)
=[a-2^(-x)]/[1+2^(-x)]
=[a*2^x -1]/[1+2^x]
-f(x)=[-a+2^x]/[1+2^x]
∴当-a+2^x=a*2^x -1
即a=1时,f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数
若a≠1,则f(x)是非奇非偶函数
2、若f(x)是奇函数,则a=1
f(x)=(1-2^x)/(1+2^x)
=-1 +[2/(1+2^x)]
∵2^x>0
∴1+2^x>1
∴1/(1+2^x)∈(0,1)
∴2/(1+2^x)∈(0,2)
∴f(x)∈(-1,1)
此即值域
任意取m>n,则
f(m)-f(n)
=-1+[2/(1+2^m)]+1-[2/(1+2^n)]
=2*(2^n -2^m)/[(1+2^m)(1+2^n)]
∵2^m>2^n,1+2^m>0,1+2^n>0
∴f(m)-f(n)<0
∴f(m)<f(n)
∴f(x)是减函数
祝愉快!
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