Question

已知函数f(x)=2|x+1|+ax a属於R 证明：当a>2时，f(x)在R上是增函数

Answer 1

1、当x+1>=0,x>=-1时
f(x)=2(x+1)+ax=(2+a)x+2
设x2>x1
f(x2)-f(x1)
=(2+a)x2+2-(2+a)x1-2
=(2+a)(x2-x1)
当a>2时,2+a>0,x2-x1>0
f(x2)-f(x1)>0
所以当x>=-1,a>2时,f(x)是增函数

2、当x+1<0,x<-1时
f(x)=-2(x+1)+ax=(a-2)x-2
设x2>x1
f(x2)-f(x1)
=(a-2)x2-2-(a-2)x1+2
=(a-2)(x2-x1)
当a>2时,a-2>0,x2-x1>0
f(x2)-f(x1)>0
所以当x<-1,a>2时,f(x)是增函数

结合1和2，当a>2时，f(x)在R上是增函数