Question

函数问题

已知函数f(x)，当x，y属于R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）。
1.求证：f（x）为奇函数。
2.如果x属于R时，f（x）＜0，且f（1)= -1/2,试求f（x）在【-2，6】上的最大值和最小值。

Answer 1

1。证明：
f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)
所以f(0)=0
f(0)=f(-x+x)=f(-x)+f(x)=0
所以f(x)=-f(-x)
所以f(x)是奇函数

2。f(x)<0，且f(1)=-1/2
f(-2)=f(-1-1)=f(-1)+f(-1)=-f(1)-f(1)=1/2+1/2=1
f(6)=6*f(1)=6*(-1/2)=-3
因为f(x)是奇函数，又知f(x)<0，所以f(x)在R上单调递减
所以f(x)在[-2,6]上的最大值是1，最小值是-3