p是等边三角形ABC内一点，如果AP=6,PB=8,PC=10,求∠APB的度数
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∠APB＝150°
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∵△ABC是等边三角形
∴CA＝AB＝BC，∠ACB＝∠CAB＝∠CBA＝60°
以点A为圆心，AP为半径，作圆弧
以点B为圆心，CP为半径，作圆弧
两段圆弧交△CAB的AB边外侧于点Q，连接AQ，BQ，PQ
则有：
BQ＝CP＝10 (作图)
AQ＝AP＝6 (作图)
AB＝AB (公共)
∴△BQA≌△CPA (SSS)
∴∠BAQ＝∠CAP
∴∠BAQ＋∠PAB＝∠CAP＋∠PAB
即∠PAQ＝∠CAB＝60°
而△PAQ是等腰三角形 (AP＝AQ)
∴△PAQ是正三角形
∴∠APQ＝60°，PQ＝AP＝6
在△PBQ中，PB＝8，PQ＝6，BQ＝10，
由余弦定理，得：
cos∠BPQ＝(PB^2＋PQ^2－BQ^2)/(2·PB·PQ)＝(8^2＋6^2－10^2)/(2·8·6)＝0
∴∠BPQ＝90°
∴∠APB＝∠APQ＋∠BPQ＝60°＋90°＝150°
注：x^2表示x的平方。
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∵△ABC是等边三角形
∴CA＝AB＝BC，∠ACB＝∠CAB＝∠CBA＝60°
以点A为圆心，AP为半径，作圆弧
以点B为圆心，CP为半径，作圆弧
两段圆弧交△CAB的AB边外侧于点Q，连接AQ，BQ，PQ
则有：
BQ＝CP＝10 (作图)
AQ＝AP＝6 (作图)
AB＝AB (公共)
∴△BQA≌△CPA (SSS)
∴∠BAQ＝∠CAP
∴∠BAQ＋∠PAB＝∠CAP＋∠PAB
即∠PAQ＝∠CAB＝60°
而△PAQ是等腰三角形 (AP＝AQ)
∴△PAQ是正三角形
∴∠APQ＝60°，PQ＝AP＝6
在△PBQ中，PB＝8，PQ＝6，BQ＝10，
由余弦定理，得：
cos∠BPQ＝(PB^2＋PQ^2－BQ^2)/(2·PB·PQ)＝(8^2＋6^2－10^2)/(2·8·6)＝0
∴∠BPQ＝90°
∴∠APB＝∠APQ＋∠BPQ＝60°＋90°＝150°
注：x^2表示x的平方。
参考资料： http://zhidao.baidu.com/question/188145628.htm
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