Question

反函数的二阶导数

求函数y=f(x)的反函数的二阶导数
答案是：f”（x）/(f’（x）)＾3
要详细的解答过程，谢谢了．

Answer 1

你给出的答案前面少了一个负号。
设函数y=f(x)的反函数为x=φ(y)
则在反函数可导的条件下，我们有
φ'(y)=1/f'(x) (*)
假定(*)是可导的，把等号右边视作分式，等式两端再对y求导
φ"(y)={-1/[f'(x)]²}·[f'(x)]'(y)
(最后的括弧y表示对y求导)
式中第二个因子中f'(x)是x的函数，却要对y求导，应该把x看做中间变量，用复合函数求导法则先对x求导，再乘上x对y的导数φ'(y)。所以
φ"(y)=-1/[f'(x)]²·[f'(x)]'(x)·φ'(y)
=-f"(x)/[f'(x)]²·φ'(y)
把(*)式代入上式即得到：
φ"(y)=-f"(x)/[f'(x)]³

Answer 2