Question

宽与长之比为根号5—1/2：1的矩形叫黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，如果在

宽与长之比为根号5—1/2：1的矩形叫黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请你证明一下

Answer 1

还是黄金矩形。证明如下：
设AD=BC=a，则原来的矩形是黄金矩形所以AB=CD=(根5-1)a/2

而AF=BE=(根5-1)a/2(因为是正方形)
所以FD=EC=AD-AF=a-(根5-1)a/2=(3-根5)a/2

剩下矩形的长宽比：FD:FE=(3-根5)a/2:(根5-1)a/2=（3-根5）：（根5-1）
分母有理化，就得到啦~~

Answer 2

是！黄金矩形的定义就是长边与短边之比为(√5-1)/2
那么设长边为1，则短边等于(√5-1)/2
留下的矩形中长边比短边即为 (√5-1)/2：1-(√5-1)/2
=√5-1：2-√5+1
=√5-1：3-√5
=(√5-1)(3+√5)：9-5
=5-3+3√5-√5：4
=2+2√5：2
=√5+1：2
它的反比即为√5-1：2
所以留下的矩形还是黄金矩形

Answer 3

解：留下的矩形CDFE是黄金矩形．
证明：∵四边形ABEF是正方形，
∴AB=DC=AF，
又∵ABAD=
5-12，
∴AFAD=
5-12，
即点F是线段AD的黄金分割点，
∴FDAF=
AFAD=
5-12，
即FDDC=
5-12，
∴矩形CDFE是黄金矩形．

Answer 4

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