Question

求解两个数学题目

一、三角形ABC中，已知sinA=cosBsinC，此三角形是什么三角形？
二、已知三角形ABC中，abc所队的角为ABC，若acosA-bcosB=0且a≠b.
1. 判断△ABC的形状
2. 若又知2b=a+c，求∠A的大小。（用反三角函数值表示）

Answer 1

1.sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=cosBsinC
所以sinBcosC=0 又因为若sinB=0则B=0度或180度，三角形不成立 所以cosC=0
即C=90度 所以三角形为直角三角形
2.（1）由正弦定理可得，a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R为外接圆半径），所以可得
sinAcosA=sinBcosB 即sin（2A）=sin（2B） 所以A=B或 2A+2B=180度
A+B=90度，C=90度又因为a≠b，所以A≠B
所以该三角形为直角三角形
（2）由正弦定理可得 2sinB=sinA+sinC
sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA
若该三角形为等腰三角形，则A=B，则a=b，不成立
若该三角形为直角三角形，则C=90度sinC=1，cosC=0
所以 2cosA=sinA+1 两边平方
4cos²A=sin²A+2sinA+1
4-4sin²A=sin²A+2sinA+1 且sinA＞0 解方程
sinA=3/5
所以A=arcsin（3/5）

Answer 2

一
sin A = sin(pai - B -C ) =sin (B+C) = sinBcosC + cosBsinC
因为 sinA=cosBsinC
所以 sinBcosC = 0
因为 sinB > 0,所以cosB=0
B = 90度，所以是直角三角形
二、
1 正弦定理
a/sinA = b/sinB,所以 a/b = sinA/sinB
因为 acosA-bcosB=0，所以 a/b = cosB/cosA
所以 sinA/sinB = cosB/cosA
sinAcosA = sinB cosB
sin 2A = sin 2B
所以 2A=2B,或 2A+2B = 180度
因为 a≠b,所以A≠B，所以 A+B = 90度
所以 △ABC是直角三角形
2. a^2 + b^2 = c^2 = (2b -a )^2
所以 a/b = 3/4
所以 tan A =a/b =3/4
A = arctan 3/4