Question

高二数学数列问题~

已知数列bn=2n。求证:对于任意的n属于正整数,不等式(b1+1)/b1*(b2+1)/b2*L*(bn+1)/bn > (n+1)^(1/2) 求每一步的详解,最好不要用归纳法。注:乘号打不出来,用*代替了。

Answer 1

用初等数学方法，且不用归纳法，估计是做不出的。
用归纳法就很简单了。
n＝1时，不等式等价于3/2>根号2，等价于9/4>2，不等式成立。

设不等式左边＝f（n），
假设n＝k-1时不等式成立，k为大于1的自然数，则f(k-1)>k^(1/2) ,
f(k)=f(k-1)*(2k+1)/(2k)>(2k+1)/(2k)*k^(1/2)=[(4k^2+4k+1)/(4k)]^1/2=(k+1+1/4k)^1/2>(k+1)^1/2。
所以，n＝k时不等式也成立。
由数学归纳法知，n为任何自然数时不等式都成立。