Question

抛物线y=x2-2x-3x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),直线l与抛物线交于A,C两点，其中点C的横坐标为2 点G是抛物

抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),直线l与抛物线交于A,C两点，其中点C的横坐标为2

点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A,C,F,G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点F坐标；如果不存在，请说明理由。

要具体过程的

Answer 1

答案：
存在F点，且坐标有四个，分别为（-3,0）；（1,0）；（0,3）；（0,9）

解：
将抛物线方程变形：
y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4,
因此，抛物线对称轴为x=1,顶点坐标为（1，-4）;
令y=0，求得A,B两点坐标分别为（-1,0）,（3,0）;
C点横坐标为2,代入抛物线方程，得纵坐标为-3；
因为F点是X轴上的点，如果存在平行四边形，则有如下情况：
①若AF是平行四边形的一条边，则一定有CG‖AF，即抛物线上的动点G纵坐标和C点一致，因此，得知G点坐标为（0，-3）；
所以CG=2，则AF=2，
若F点在A点右边，即F点坐标为（1,0）；
若F点在A点左边，即F点坐标为（-3,0）；

②若AF是平行四边形的一条对角线，则AC为边，
根据两点间斜率公式，得直线AC的斜率k=(-3-0)/(2-(-1))=-1,
因为GF‖AC，所以直线GF的斜率也为-1；
假设GF的方程为y=-x+b,则F点坐标为（0，b）;
设G点横坐标为m，则纵坐标为(-m+b)；
代入抛物线方程得:
-m+b=(m-1)^2-4……………………………⑴
根据两点距离公式可知AC=3√2，因为在平行四边形AC=GF，所以有：
√[(m-0)^2+(-m+b-b)^2]=3√2……… …⑵

联立⑴⑵求解得到
m=3，b=3;或
m=-3,b=9
因此F点的坐标为
（0,3），（0,9）