Question

★★★高一函数题一道★★★

已知1/3≤a≤1，若函数f(x)=ax^2-2x+1在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M(a)-N(a). (1)求g(a)的函数表达式；(2)判断函数g(a)在区间[1/3,1]上的单调性，并求出g(a)的最小值。

Answer 1

(1)
首先a>0，函数开口向上。当x=1/a时，函数取最小值.而1/a正好在1到3之间，所以N(a)=1-1/a（将x=1/a带入f(x)）。函数最大值一定在端点处，所以要分情况。当1/a<2时，即1/3<=a<1/2时，函数在x=3处取得最大值，M(a)=9a-5；当1/a>=2时，即1/2<=a<=1时，函数在x=1处取得最大值，M(a)=a-1。
最后得到g(a)=9a+1/a-6(1/3<=a<1/2);g(a)=a+1/a-2(1/2<=a<=1)

(2)
高一还没学不等式和导数吧。单调性只能用定义了，这个自己做一下吧。学了不等式一眼就能看出来，结论应该是：在1/3<=a<1/2里，单增；在1/2<=a<=1里，单减。g(a)最小值在端点上，比较g(1)=0和g(1/3)=0，可知g(a)最小值为0