Question

什么叫做有理数？

Answer 1

有理数
有理数（rational number)：能精确地表示为两个整数之比的数。包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。

如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数。

有理数还可以划分为正有理数、负有理数和0。

全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。

有理数集是实数集的子集。相关的内容见数系的扩张。

有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）：

①加法的交换律 a+b=b+a；

②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c；

③存在数0，使 0+a=a+0=a；

④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；

⑤乘法的交换律 ab=ba；

⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；

⑦分配律 a(b+c)=ab+ac；

⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a1=a；

⑨对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。

此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系≤。

有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a≥0，b>0，必可找到一个自然数n，使nb>a。由此不难推知，不存在最大的有理数。

值得一提的是有理数的名称。“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。

无理数
无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数。 如圆周率、2的平方根等。

·无理数与有理数的区别：
1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数,
比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数.
2、所有的有理数都可以写成两个整数之比;而无理数不能.根据这一点,有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子,把有理数改叫为“比数”，把无理数改叫为“非比数”。本来嘛，无理数并不是不讲道理，只是人们最初对它不太了解罢了。

利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。

证明：假设√2不是无理数，而是有理数。

既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：
√2=p/q

又由于p和q有公因数可以约去，所以可以认为p/q 为既约分数。

把 √2=p/q 两边平方

得 2=(p^2)/(q^2)

即 2(q^2)=p^2

由于2q^2是偶数，p 必定为偶数，设p=2m

由 2(q^2)=4(m^2)

得 q^2=2m^2

同理q必然也为偶数，设q=2n

既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q是既约分数矛盾。这个矛盾是有假设√2是有理数引起的。因此√2是无理数。

Answer 2

可以用分数表示就叫有理，不可以写成分数形式叫无理
看了所有人的回答～～
貌似太精辟了
现做对我自己原来的补充
所谓的整数啊，分数啊都可以用分数*/*的形式表示，他们就是我们定义为的一个数集，叫有理数
所谓的无限不循环小数啊，根号啊，都是不能用分数*/*表示的，同样这个数集也有个名称，我们称之为无理数
根号2，也就是最早发现的无理数，还引发了第一次数学危机（印象中是这样的）
古希腊的研究认为所有数都为有理数，即能表示成整数或是整数的商，但是当人们接触到正方形时，对角线长成为了一个无法解释的难题。因此有人对此产生质疑，……（自然他就要为科学献身喽）。后来人们才接受数不都是分数，也有不能用分数表示的，因此将其定为无理数
这使得人们对数的研究有扩展了一大片全新领域

Answer 3

整数和分数统称为有理数.
无理数指一些无限不循环小数，比如π，3.141592653...
而有理数恰恰与它相反，是一些可循环、有规律的数，我们现在研究的所有的数字都是有理数，如正整数1、2、3、4、5、6... 负整数－1,－2,－3... 零,0 以及一些有限的，可表示的分数小数，如2/3,－2/3，1.22，1.235。

Answer 4

无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数
整数和分数统称为有理数

实数除了有理数，剩下的叫做无理数

Answer 5

实数=整数+分数=正数+零+负数=有理数+无理数 有理数 要分正负，当然，0 和 无限循环小数 也要包括…在实数范围内，除了 无限不循环小数外 ，其它的都是 有理数 复数=实数+虚数 在 虚数中，我们（人为地？）规定 i*i=-1 虚数 还分 纯虚数 和 …