Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,题目见下

(1)若a>b>c且f(1)=0,试证明f(x)有两个零点;
(2)若对x1,x2属于R且x1<x2,f(x1)不等于f(x2),试证明必存在一实数x0属于(x1,x2)使得f(x0)=1/2[f(x1)+f(x2)]

Answer 1

(2)f(1)=0
=>a+b+c=0
若a≤0,则
0≥a>b>c
a+b+c<0矛盾
故a>0
令f(x)=0，得
一元二次方程ax²+bx+c=0
△=b^2-4ac
=(-a-c)²-4ac
=a²+2ac+c²-4ac
=（a-c）²
而a>b>c,故a-c>0
故△>0
故f(x)=0有两不同的根
亦即f(x)有两个零点

（2）
记函数g(x)=f(x)-[f(x1)+f(x2)]/2
则g(x1)=f(x1)-[f(x1)+f(x2)]/2
=[f(x1)-f(x2)]/2 !=0
g(x2)=f(x2)-[f(x1)+f(x2)]/2
=[f(x2)-f(x1)]/2
=-g(x1)
即g(x1)、g(x2)异号
而显然g（x）为连续函数
故必存在一点x∈(x1,x2),使得g(x)=0
亦即
必存在一实数x0属于(x1,x2)使得f(x0)=1/2[f(x1)+f(x2)]