Question

已知向量a≠0，向量B≠0，且（向量a+3向量b）⊥（7向量a-5向量b），（向量a-4向量b）⊥（7向量a-2向量b）

已知向量a≠0，向量B≠0，且（向量a+3向量b）⊥（7向量a-5向量b），（向量a-4向量b）⊥（7向量a-2向量b），求a与b夹角

Answer 1

题目写错了，“7a向量+b向量”应该是“7a向量-5b向量”
(a＋3b)*(7a－5b)＝7|a|^2＋16(a*b)－15|b|^2＝0
(a－4b)*(7a－2b)＝7|a|^2－30(a*b)＋8|b|^2＝0
相减得|b|^2＝2(a*b)，代入得|a|^2＝2(a*b)
cosθ＝(a*b)/(|a|*|b|)＝1/2，θ＝60°

Answer 2

以下用 A表示向量a ，B表示向量b ，a表示向量a 的模，b表示向量b的模
两向量垂直，点积为零。
(A+3B)(7A-5B)=0 即 7 a^2 - 15 b^2 + 16 AB = 0
(A-4B)(7A-2B)=0 即 7 a^2 + 8 b^2 - 30AB = 0
得 AB = (b^2)/2 , a^2 = b^2 因为 a、b 表示向量的模 所以又有a=b
则cos<A,B> = AB/ab = 1/2 A与B夹角=60
即向量a与向量b夹角为60度

Answer 3

（向量a+3向量b）⊥（7向量a-5向量b），（a+3b)*(7a-5b)=0,7a2-15b2+16a*b=0
（向量a-4向量b）⊥（7向量a-2向量b）,(a-4b)*(7a-2b)=0,7a2+8b2-30a*b=0
两式相减，23b2=46a*b,a*b=1/2b2
代入第一个式子得|a|=|b|
cos<a,b>=a*b/|a||b|=1/2

<a,b>=60o