Question

关于线性代数的秩的一个性质的证明

设秩{a1,a2,……,as}=p，秩{b1,b2,……,bt}=r，如果向量组b1,b2,……,bt可由向量组a1,a2,……,as线性表示，则r<=p。
请问如何证明？

Answer 1

需要一个前导定理：向量组B{a1,a2,……,as}能由向量组A{b1,b2,……,bt}线性表示的充分必要条件是矩阵A的秩等于矩阵（A,B）的秩，即R(A)=R(A,B)
这个定理是直接可以用的，你要证明的话也很简单，用这条定理去证明就可以了——矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B)

有了前导定理，就很容易证明你这个命题了，由前导定理可知，R(A)=R(A,B)，而R(B)<=R(A,B)，马上就能得到R(B)<=R(A)即r<=p